题解 P1622 释放囚犯

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题面

题目描述

Caima 王国中有一个奇怪的监狱，这个监狱一共有 $P$ 个牢房，这些牢房一字排开，第 $i$ 个紧挨着第 $i+1$ 个（最后一个除外）。现在正好牢房是满的。

上级下发了一个释放名单，要求每天释放名单上的一个人。这可把看守们吓得不轻，因为看守们知道，现在牢房中的 $P$ 个人，可以相互之间传话。如果某个人离开了，那么原来和这个人能说上话的人，都会很气愤，导致他们那天会一直大吼大叫，搞得看守很头疼。如果给这些要发火的人吃上肉，他们就会安静点。

输入格式

第一行两个整数 $P$ 和 $Q$，$Q$ 表示释放名单上的人数；

第二行 $Q$ 个整数，表示要释放哪些人，保证按递增的顺序给出。

输出格式

仅一行，表示最少要给多少人次送肉吃。

样例 #1

样例输入 #1

1
2
20 3
3 6 14

样例输出 #1

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提示

样例说明 #1

先释放 $14$ 号监狱中的罪犯，要给 $1$ 到 $13$ 号监狱和 $15$ 到 $20$ 号监狱中的 $19$ 人送肉吃；再释放 $6$ 号监狱中的罪犯，要给 $1$ 到 $5$ 号监狱和 $7$ 到 $13$ 号监狱中的 $12$ 人送肉吃；最后释放 $3$ 号监狱中的罪犯，要给 $1$ 到 $2$ 号监狱和 $4$ 到 $5$ 号监狱中的 $4$ 人送肉吃。

数据规模与约定

  • 对于 $50\%$ 的数据，$1 \le P \le 100$，$1 \le Q \le 5$；
  • 对于 $100\%$ 的数据，$1 \le P \le 10^3$，$1 \le Q \le 100$，$Q \le P$，保证释放的人所在的牢房编号按递增的顺序给出。

思路

题意即求释放列表中所有罪犯的费用之和最小，每次释放，罪犯i到他两边空牢房之间的所有人，都需要消耗一块肉。每次释放一个罪犯，可以想到区间 DP，状态 f[l][r] 表示从l到r号罪犯全部释放所需要消耗的肉块总数。

之后思考状态转移方程。要求最小值，f[l][r] 初始值 INT_MAX。f[l][r] = min of f[l][m-1] + f[m+1][r] + Pos[r+1] - Pos[l-1] -2 ，其中 m 属于区间 [l,r]，枚举合并点，即此次释放的罪犯，罪犯两侧到l和r号罪犯的消耗f[l][m-1]和f[m+1][r]。Pos[i]定义i号罪犯的编号。这里其实是一种反向的思路，m点应该是最先释放的（？Pos[r+1] - Pos[l-1] -2即此区间两侧最近的罪犯之间的人数，减去区间两端。即区间合并的额外费用。注意要在Pos数组中定义Pos[Q+1]=N+1。

代码

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#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <climits> // For INT_MAX

using namespace std;

int Pos[110];
int f[110][110];

int main() {
    int P, Q;
    cin >> P >> Q;
    for(int i = 1; i<=Q; i++){
        cin >> Pos[i];
    }
    Pos[Q+1] = P+1;
    for(int k = 1; k<=Q; k++){
        for(int i = 1; i+k-1<=Q; i++){
            int y = i+k-1;
            f[i][y]=INT_MAX; // 初始值
            for(int m = i; m<=y; m++){
                f[i][y] = min(f[i][m-1] + f[m+1][y], f[i][y]); 
            }
            f[i][y] +=  Pos[y+1] - Pos[i-1] -2;
        }
    }
    cout << f[1][Q] << endl; // 答案即把 1...Q 所有的罪犯全部释放（合并）
    return 0;
}

小结

本题难点在于建模，区间DP部分比较典型。