题解 最近公共祖先 (LCA)

好久没刷题了，复习一下：LCA。

题目详情

题目很简单，就是求多叉树两个点的最近公共祖先。

链接: 洛谷 P3379

LCA（Least Common Ancestors），即最近公共祖先，是指在有根树中，找出某两个结点u和v最近的公共祖先。 ———来自百度百科

图中，4 和 3 的 LCA 就是 1。

解题

最简单的方法 (暴力)

这种方法数据一大就会TLE。

原理很简单，让两个数一个一个向上走，直到两个数相遇。第一次相遇就是他们的 LCA。

很简单，就不赘述了，直接上代码

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

#define MAX 500000

vector<int> tree[MAX];// 以邻接表形式存储
int dep[MAX];
int fas[MAX];

namespace M1 {
    void dfs(int x, int fa) {
        if (fa != -1) {
            dep[x] = dep[fa] + 1;
        }
        fas[x] = fa;
        for (int i = 0; i < tree[x].size(); i++) {
            if (fas[tree[x].at(i)] == -2) M1::dfs(tree[x].at(i), x);
        }
    }


    int solve(int a, int b) {
        while (1) {
            if (a == b) {
                return a;
            } else if (fas[a] == fas[b]) {
                return fas[a];
            } else if (fas[b] == a) {
                return a;
            } else if (fas[a] == b) {
                return b;
            }
            int da = dep[a], db = dep[b];
            int delta = abs(da - db);
            if (da > db) {
                for (int i = 0; i < delta; i++) {
                    a = fas[a];
                    da = dep[a];
                }
            } else if (da < db) {
                for (int i = 0; i < delta; i++) {
                    b = fas[b];
                    db = dep[b];
                }
            } else {
                a = fas[a];
                da = dep[a];
            }
        }
        return -1;
    }
}// namespace M1

bool first = true;

int LCA(int a, int b, int r) {
    if (first) {
        M1::dfs(r, -1);
        first = false;
    }
    int res;
    res = M1::solve(a, b);
    return res;
}

int main(int argc, char *argv[]) {
    int m, n, s;
    cin >> m >> n >> s;
    for (int i = 0; i < MAX; i++) {
        dep[i] = 0;
        fas[i] = -2;
    }
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        tree[x].push_back(y);
        tree[y].push_back(x);
    }
    dep[s] = 0;
    fas[s] = -1;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        int res = LCA(a, b, s);
        cout << res << endl;
    }
    return 0;
}

注意这道题目的数据输入，x y 表示x 结点和 y 结点之间有一条直接连接的边（数据保证可以构成树）。 所以需要用邻接表的形式，表示多叉树。

倍增法

这个算法是对上面暴力算法的优化。这个算法的时间复杂度为$O(nlogn)$，已经可以满足大部分的需求。

上述算法中，一步一步跳太慢了，这里我们事先做好标记，就可以每次 $2^i$ 步向上跳，一直到相遇。

代码中有较为详细的注释：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

#define MAX 500001 // 本题最大数据规模
#define MUL_MAX 22

vector<int> tree[MAX]; // 以邻接表形式存储
int dep[MAX]; // 预处理存储节点深度
int fas[MAX][MUL_MAX]; // 存储 x 节点上面第 2^i 次方个祖先
bool first = true; // 记录预处理是否结束

int lg2(int x) {
    return log(x) / log(2) + 1; // 无理数计算记得加上 1 来避免误差
} // 手动写了一个函数，来求 log2(x)

void dfs(int x, int fa) { // x 是当前节点，fa 是它的父节点
    if (fa != -1) {
        dep[x] = dep[fa] + 1; // x 的深度就是它的父节点加一，这很好理解
    }
    fas[x][0] = fa; // x 节点的第一个父节点是 fa
    for (int i = 1; (1 << i) <= dep[x]; i++) { // 循环直至 2^i 大于当前节点深度，即完成当前节点到树根的所有可跳转到的节点的预处理工作
        fas[x][i] = fas[fas[x][i - 1]][i - 1]; 
        // 这一步是算法的精髓
        // 得到状态转移方程，动态规划计算
        // 意思是x的2^i祖先等于x的2^(i-1)祖先的2^(i-1)祖先
    }
    for (int i = 0; i < tree[x].size(); i++) {
        if (tree[x].at(i) != fa) dfs(tree[x].at(i), x); 
        // 邻接表存储当前节点所有相连的节点，只要节点不是它的父节点，即节点是它的子节点，就进行下一步递归
    }
} // 深度优先搜索来预处理一下

int solve(int a, int b) {
    if (dep[b] > dep[a]) swap(a, b); // 确保 a 的深度更深，避免冗余的判断
    while (dep[a] > dep[b]) {
        a = fas[a][lg2(dep[a] - dep[b]) - 1]; // a 向上跳，跳至两节点同级
    }
    if (a == b) return a; // 若此时两节点相遇，就可以直接返回。否则两节点还需再次向上跳。
    for (int i = lg2(dep[a]); i >= 0; i--) {
        if (fas[a][i] != fas[b][i]) {
            a = fas[a][i];
            b = fas[b][i];
        }
    } // 从可跳到的最高处向下枚举，得到 LCA
    return fas[a][0]; // 返回答案
}

int LCA(int a, int b, int r) {
    if (first) {
        dep[r] = 0;
        fas[r][0] = -1;
        dfs(r, -1);
        first = false;
    }
    int res;
    res = solve(a, b);
    return res;
}

int main(int argc, char *argv[]) {
    int m, n, s;
    cin >> m >> n >> s;
    for (int i = 0; i < MAX; i++) {
        dep[i] = 0;
        for (int j = 0; j < MUL_MAX; j++)
            fas[i][j] = -2;
    } // 数组初始化
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        tree[x].push_back(y);
        tree[y].push_back(x);
        // 邻接表存入数据
    }
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        int res = LCA(a, b, s);
        cout << res << endl;
    }
    return 0;
}

其实还可以预处理出一个 lg 数组，避免对数计算，大家可以自己去尝试，会有一定时间优化效果。

无法理解倍增？这里有个 经典资料

其他方法

实际上还有更快的方法求这道题的答案。倍增算法已经可以满足需求，就不再往下写了。

• Tarjan
• ST 算法

大家有兴趣可以去尝试一下。

后记

这里放上两种列出算法的评分。

暴力

倍增