題解 最近公共祖先 (LCA)

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好久沒刷題了，複習一下：LCA。

題目詳情

題目很簡單，就是求多叉樹兩個點的最近公共祖先。

連結: 洛谷 P3379

LCA（Least Common Ancestors），即最近公共祖先，是指在有根樹中，找出某兩個結點u和v最近的公共祖先。 ———來自百度百科

818487-20151004150339121-181913844.png 圖中，4 和 3 的 LCA 就是 1。

解題

最簡單的方法 (暴力)

這種方法資料一大就會TLE。

原理很簡單，讓兩個數一個一個向上走，直到兩個數相遇。第一次相遇就是他們的 LCA。

很簡單，就不贅述了，直接上程式碼

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#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

#define MAX 500000

vector<int> tree[MAX];// 以鄰接表形式儲存
int dep[MAX];
int fas[MAX];

namespace M1 {
    void dfs(int x, int fa) {
        if (fa != -1) {
            dep[x] = dep[fa] + 1;
        }
        fas[x] = fa;
        for (int i = 0; i < tree[x].size(); i++) {
            if (fas[tree[x].at(i)] == -2) M1::dfs(tree[x].at(i), x);
        }
    }


    int solve(int a, int b) {
        while (1) {
            if (a == b) {
                return a;
            } else if (fas[a] == fas[b]) {
                return fas[a];
            } else if (fas[b] == a) {
                return a;
            } else if (fas[a] == b) {
                return b;
            }
            int da = dep[a], db = dep[b];
            int delta = abs(da - db);
            if (da > db) {
                for (int i = 0; i < delta; i++) {
                    a = fas[a];
                    da = dep[a];
                }
            } else if (da < db) {
                for (int i = 0; i < delta; i++) {
                    b = fas[b];
                    db = dep[b];
                }
            } else {
                a = fas[a];
                da = dep[a];
            }
        }
        return -1;
    }
}// namespace M1

bool first = true;

int LCA(int a, int b, int r) {
    if (first) {
        M1::dfs(r, -1);
        first = false;
    }
    int res;
    res = M1::solve(a, b);
    return res;
}

int main(int argc, char *argv[]) {
    int m, n, s;
    cin >> m >> n >> s;
    for (int i = 0; i < MAX; i++) {
        dep[i] = 0;
        fas[i] = -2;
    }
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        tree[x].push_back(y);
        tree[y].push_back(x);
    }
    dep[s] = 0;
    fas[s] = -1;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        int res = LCA(a, b, s);
        cout << res << endl;
    }
    return 0;
}

注意這道題目的資料輸入，x y 表示x 結點和 y 結點之間有一條直接連線的邊（資料保證可以構成樹）。 所以需要用鄰接表的形式，表示多叉樹。

倍增法

這個演算法是對上面暴力演算法的最佳化。這個演算法的時間複雜度為O(nlogn)，已經可以滿足大部分的需求。

上述演算法中，一步一步跳太慢了，這裡我們事先做好標記，就可以每次 2i 步向上跳，一直到相遇。

程式碼中有較為詳細的註釋：

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#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

#define MAX 500001 // 本題最大資料規模
#define MUL_MAX 22

vector<int> tree[MAX]; // 以鄰接表形式儲存
int dep[MAX]; // 預處理儲存節點深度
int fas[MAX][MUL_MAX]; // 儲存 x 節點上面第 2^i 次方個祖先
bool first = true; // 記錄預處理是否結束

int lg2(int x) {
    return log(x) / log(2) + 1; // 無理數計算記得加上 1 來避免誤差
} // 手動寫了一個函式，來求 log2(x)

void dfs(int x, int fa) { // x 是當前節點，fa 是它的父節點
    if (fa != -1) {
        dep[x] = dep[fa] + 1; // x 的深度就是它的父節點加一，這很好理解
    }
    fas[x][0] = fa; // x 節點的第一個父節點是 fa
    for (int i = 1; (1 << i) <= dep[x]; i++) { // 迴圈直至 2^i 大於當前節點深度，即完成當前節點到樹根的所有可跳轉到的節點的預處理工作
        fas[x][i] = fas[fas[x][i - 1]][i - 1]; 
        // 這一步是演算法的精髓
        // 得到狀態轉移方程，動態規劃計算
        // 意思是x的2^i祖先等於x的2^(i-1)祖先的2^(i-1)祖先
    }
    for (int i = 0; i < tree[x].size(); i++) {
        if (tree[x].at(i) != fa) dfs(tree[x].at(i), x); 
        // 鄰接表儲存當前節點所有相連的節點，只要節點不是它的父節點，即節點是它的子節點，就進行下一步遞迴
    }
} // 深度優先搜尋來預處理一下

int solve(int a, int b) {
    if (dep[b] > dep[a]) swap(a, b); // 確保 a 的深度更深，避免冗餘的判斷
    while (dep[a] > dep[b]) {
        a = fas[a][lg2(dep[a] - dep[b]) - 1]; // a 向上跳，跳至兩節點同級
    }
    if (a == b) return a; // 若此時兩節點相遇，就可以直接返回。否則兩節點還需再次向上跳。
    for (int i = lg2(dep[a]); i >= 0; i--) {
        if (fas[a][i] != fas[b][i]) {
            a = fas[a][i];
            b = fas[b][i];
        }
    } // 從可跳到的最高處向下列舉，得到 LCA
    return fas[a][0]; // 返回答案
}

int LCA(int a, int b, int r) {
    if (first) {
        dep[r] = 0;
        fas[r][0] = -1;
        dfs(r, -1);
        first = false;
    }
    int res;
    res = solve(a, b);
    return res;
}

int main(int argc, char *argv[]) {
    int m, n, s;
    cin >> m >> n >> s;
    for (int i = 0; i < MAX; i++) {
        dep[i] = 0;
        for (int j = 0; j < MUL_MAX; j++)
            fas[i][j] = -2;
    } // 陣列初始化
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        tree[x].push_back(y);
        tree[y].push_back(x);
        // 鄰接表存入資料
    }
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        int res = LCA(a, b, s);
        cout << res << endl;
    }
    return 0;
}

其實還可以預處理出一個 lg 陣列，避免對數計算，大家可以自己去嘗試，會有一定時間最佳化效果。

無法理解倍增？這裡有個 經典資料

其他方法

實際上還有更快的方法求這道題的答案。倍增演算法已經可以滿足需求，就不再往下寫了。

  • Tarjan
  • ST 演算法

大家有興趣可以去嘗試一下。

後記

這裡放上兩種列出演算法的評分。

暴力

截圖2021-04-24 下午6.13.14.png

倍增

截圖2021-04-24 下午6.13.08.png