P3147 USACO16OPEN 262144 P 题解

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DP 系列。

题面

看题，Luogu

合并相邻的相同数字，变成数字加一。求获得的最大值。

思考

最初想到的是基础的区间 DP，不做解释：

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long long ans = 0;
for(int len = 2; len<=N; len++){
    for(int i = 1; i+len-1<=N; i++){
        int y = i+len-1;
        for(int k = i; k<y; k++){
            if(DP[i][k] == DP[k+1][y]){
                DP[i][y] = max(DP[i][y], DP[i][k] + 1);
            }
        }
        ans = max(ans, DP[i][y]);
    }
}
cout << ans << endl;

但是 $ 2 \leq n \leq 262144 $ ，显然会 MLE。

优化

借鉴思路，我们发现可以使用类似倍增的方法去做。

用状态 f[i][j] 表示 合成之后结果为 i，右端点为 j 的区间的左端点位置，如果 值为 0 即 不可行。

因为题目要找两个相邻相等的区间，合成。有：

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f[i][j] = f[i-1][f[i-1][j]];

把 f[i][j] 拆分成两个能合成为 i-1 的区间

即

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                 f[i-1][j]
    |------<i-1>-----|----<i-1>-----|
    j                      f[i-1][f[i-1][j]] 

如果 f[i-1][j] 或 f[i-1][f[i-1][j]] 不成立，f[i][j] 就不成立，即转移为 0

那如何表示结果？

记录 ans，如果 f[i][j] 可行，就更新 ans。因为 i 递增，所以不需要 max 操作。

得到

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for(int i =2; i<=58; i++){
    for(int j = 1; j<=N; j++){
        if(!DP[i][j]){
            DP[i][j] = DP[i-1][DP[i-1][j]];
        }
        if(DP[i][j]){
            ans = i;
        }
    }
}

注意我们倍增合并，所以 log2262144+40=58log_2{262144} + 40 = 58 是可能获得的最大值。

初始化

显然不合并是可行的，所以在输入的时候，初始化

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for(int i = 1; i<=N; i++){
    int in;
    cin >> in;
    DP[in][i] = i+1;
}

关于 i+1：为了避免区间重复，我们 f[i][j] 表示的区间是左闭右开区间，所以右端点是 i+1

小结

这道题是区间 DP 状态优化，DP 学习之路漫漫，还需要多加练习。